Berechnung der inneren Tangenten

Kreis 1 gegeben durch Mittelpunkt {xM1,yM1} und Radius r1
Kreis 2 gegeben durch Mittelpunkt {xM2,yM2} und Radizs r2
Gesucht werden die Berührungspunkte der inneren Tangenten

Der Punkt {x0,y0} ist der Schnittpunkt der beiden inneren Tangenten

Lösung des Gleichungssystems für dieTangenten die von diesem Schnittpunktpunkt ausgehen am ersten Kreis
Berechnung des Berührungspunktes {x1,y1} Berechnung des Schnittpunktes {x2,y2} dieser Tangente mit der Polaren am Kreis 2.
Die so erhaltenen Lösung kann nur für r1 > 0 und  yM1 != yM2 berechnet werden. Dieses Gleichungssystem hat zwei unabhängige Lösungen.

Ergibt für die erste Tangente  {p1,p2} ={{x1,y1},{x2,y2}} und ür die zweite Tangente  {p1,p2} ={{x1,y1},{x2,y2}} Umgewandelt in die InputForm kann dies per Cut&Paste direkt in das Notebook Federung übernommen werden.

{{{(xM1^3 - 2*xM1^2*xM2 + r1^2*(-xM1 + xM2) + r1*r2*(-xM1 + xM2) + 
     xM1*(xM2^2 + (yM1 - yM2)^2) - Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + 
        xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2), 
   (xM2^2*yM1^2 + yM1^4 + xM1^2*yM1*(yM1 - yM2) - r1^2*(yM1 - yM2)^2 - 
     r1*r2*(yM1 - yM2)^2 - xM2^2*yM1*yM2 - 3*yM1^3*yM2 + 3*yM1^2*yM2^2 - yM1*yM2^3 - 
     xM2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)] + xM1*(-2*xM2*yM1*(yM1 - yM2) + 
       Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
          yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)]))/((xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*
     (yM1 - yM2))}, 
  {(r1^2*r2*(xM1 - xM2) + r1*(r2^2*(xM1 - xM2) + xM2*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         (yM1 - yM2)^2)) + r2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 
         2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)), 
   (r1^2*r2*(yM1 - yM2)^2 + r1*(yM1 - yM2)*(r2^2*(yM1 - yM2) + 
       (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*yM2) + 
     r2*(-xM1 + xM2)*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + 
         xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*(yM1 - yM2))}}, 
 {{(xM1^3 - 2*xM1^2*xM2 + r1^2*(-xM1 + xM2) + r1*r2*(-xM1 + xM2) + 
     xM1*(xM2^2 + (yM1 - yM2)^2) + Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + 
        xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2), 
   (xM2^2*yM1^2 + yM1^4 + xM1^2*yM1*(yM1 - yM2) - r1^2*(yM1 - yM2)^2 - 
     r1*r2*(yM1 - yM2)^2 - xM2^2*yM1*yM2 - 3*yM1^3*yM2 + 3*yM1^2*yM2^2 - yM1*yM2^3 + 
     xM2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)] - xM1*(2*xM2*yM1*(yM1 - yM2) + 
       Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
          yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)]))/((xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*
     (yM1 - yM2))}, 
  {(r1^2*r2*(xM1 - xM2) + r1*(r2^2*(xM1 - xM2) + xM2*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         (yM1 - yM2)^2)) - r2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 
         2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)), 
   (r1^2*r2*(yM1 - yM2)^2 + r1*(yM1 - yM2)*(r2^2*(yM1 - yM2) + 
       (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*yM2) + 
     r2*(xM1 - xM2)*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 - 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + 
         xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*(yM1 - yM2))}}}

Test auf Gültigkeit der Lösung für r2 = 0

Test auf Gültigkeit der Lösung für r1 = 0

Test auf Gültigkeit der Lösung für yM1 = yM2

Berechnung der äußeren Tangenten

Kreis 1 gegeben durch Mittelpunkt {xM1,yM1} und Radius r1
Kreis 2 gegeben durch Mittelpunkt {xM2,yM2} und Radizs r2
Gesucht werden die Berührungspunkte der äußeren Tangenten

Berechnung des  Schnittpunktes  {x0,y0} der Tangenten außerhalb der Kreise, die erzeugte Lösung ist auch für den Fall r1 = r2
gültig.

Lösung des Gleichungssystems für dieTangenten die von diesem Schnittpunktpunkt ausgehen am ersten Kreis
Berechnung des Berührungspunktes {x1,y1} Berechnung des Schnittpunktes {x2,y2} dieser Tangente mit der Polaren am Kreis 2
Dieses Gleichungssystem hat zwei unabhängige Lösungen. Die so erhaltenen Lösung kann nur für r1 > 0 und  yM1 != yM2 berechnet werden.

Ergibt für die erste Tangente  {p1,p2} ={{x1,y1},{x2,y2}} und ür die zweite Tangente  {p1,p2} ={{x1,y1},{x2,y2}} Umgewandelt in die InputForm kann dies per Cut&Paste direkt in das Notebook Federung übernommen werden.

{{{(xM1^3 + r1*r2*(xM1 - xM2) - 2*xM1^2*xM2 + r1^2*(-xM1 + xM2) + 
     xM1*(xM2^2 + (yM1 - yM2)^2) - Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + 
        xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2), 
   (xM2^2*yM1^2 + yM1^4 + xM1^2*yM1*(yM1 - yM2) - r1^2*(yM1 - yM2)^2 + 
     r1*r2*(yM1 - yM2)^2 - xM2^2*yM1*yM2 - 3*yM1^3*yM2 + 3*yM1^2*yM2^2 - yM1*yM2^3 - 
     xM2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)] + xM1*(-2*xM2*yM1*(yM1 - yM2) + 
       Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
          yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)]))/((xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*
     (yM1 - yM2))}, 
  {(r1^2*r2*(-xM1 + xM2) + r1*(r2^2*(xM1 - xM2) + xM2*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         (yM1 - yM2)^2)) - r2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 
         2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)), 
   (-(r1^2*r2*(yM1 - yM2)^2) + r1*(yM1 - yM2)*(r2^2*(yM1 - yM2) + 
       (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*yM2) + 
     r2*(xM1 - xM2)*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + 
         xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*(yM1 - yM2))}}, 
 {{(xM1^3 + r1*r2*(xM1 - xM2) - 2*xM1^2*xM2 + r1^2*(-xM1 + xM2) + 
     xM1*(xM2^2 + (yM1 - yM2)^2) + Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + 
        xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2), 
   (xM2^2*yM1^2 + yM1^4 + xM1^2*yM1*(yM1 - yM2) - r1^2*(yM1 - yM2)^2 + 
     r1*r2*(yM1 - yM2)^2 - xM2^2*yM1*yM2 - 3*yM1^3*yM2 + 3*yM1^2*yM2^2 - yM1*yM2^3 + 
     xM2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)] - xM1*(2*xM2*yM1*(yM1 - yM2) + 
       Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
          yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)]))/((xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*
     (yM1 - yM2))}, 
  {(r1^2*r2*(-xM1 + xM2) + r1*(r2^2*(xM1 - xM2) + xM2*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + 
         (yM1 - yM2)^2)) + r2*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 
         2*xM1*xM2 + xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)), 
   (-(r1^2*r2*(yM1 - yM2)^2) + r1*(yM1 - yM2)*(r2^2*(yM1 - yM2) + 
       (xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*yM2) + 
     r2*(-xM1 + xM2)*Sqrt[r1^2*(yM1 - yM2)^2*(-r1^2 + 2*r1*r2 - r2^2 + xM1^2 - 2*xM1*xM2 + 
         xM2^2 + yM1^2 - 2*yM1*yM2 + yM2^2)])/
    (r1*(xM1^2 - 2*xM1*xM2 + xM2^2 + (yM1 - yM2)^2)*(yM1 - yM2))}}}

Test auf Gültigkeit der Lösung für r1 = r2

Test auf Paralletität der Tangenten für r1 = r2

Test auf Gültigkeit der Lösung für r2 = 0

Test auf Gültigkeit der Lösung für r1 = 0

Test auf Gültigkeit der Lösung für yM1 = yM2